Tiempo Estimado

En base a experimentación y pruebas de laboratorio, hemos concluido empíricamente lo siguiente:

Velocidad Aproximada: 0.5 metros / segundo

Distancia Recorrida (Impuesta) : 5 metros
Tiempo Aproximado: 10 segundos

Análisis Dinámico

Claramente no podíamos dejar un riguroso análisis dinámico para calcular el desempeño de Elipsea en la competencia! Para esto planteamos el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Éste nos muestra que para el movimiento horizontal nos influyen dos fuerzas: Fc que corresponde a la fuerza del chorro y A que es la oposición por roce que efectúa el agua.

Procedemos entonces a analizar ambas fuerzas:

Impulso del chorro
Para el análisis dinámico del desempeño de Elipsea en la gran competencia es muy importante que sepamos el aporte impulso que otorga el chorro a nuestro veloz lanchón. Lamentablemente No pudimos calcular teóricamente esta fuerza ya que nos resulta muy complejo incluir todas las variables que afectan al chorro desde su salida del estanque al tubo hasta el golpe en la placa de Elipsea ni menos resolverlas en las ecuaciones de Navier-Stokes. En honor al tiempo procedimos a ir al laboratorio a hacer mediciones efectivas del chorro para así saber exactamente cuanto impulsará al bote. Para esto medimos el volumen desalojado en distintos periodos de tiempo para así poder estimar una velocidad media del chorro. Habiendo obtenido entonces el caudal, calculamos la velocidad considerando un coeficiente de contracción de 0.9 a la sección del chorro. De la tabla pudimos concluir que la velocidad baja mas o menos cuadráticamente con respecto al tiempo por lo que estimamos una velocidad media para los 3 primeros segundos(que consideramos son los segundos en que el chorro alcanza la placa) de 4.5[m/s].

Una vez obtenida la velocidad del chorro ocupamos la ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control como lo muestra la siguiente figura:

Finalmente obtenemos que la fuerza ejercida por el chorro
F=0.01847[kg*m/s^2].

Fuerza de arrastre
Según las investigaciones efectuadas por nuestro grupo Elipsea se verá enfrentado a una fuerza de arrastre que depende de la velocidad que nuestro amigo lleve, su geometría y las características hidrodinámicas de su casco.

Siendo rho el densidad del agua, V la velocidad de elipsea, A el área proyectada por su casco a la linea de avance y CD un coeficiente hidródinámico por determinar.

Sólo podremos saber CD cuando Elipsea este en plenas facultades para ir a probar sus destrezas al laboratorio.

Basta entonces integrar estas fuerzas en el tiempo(una vez que tengamos las mediciones de arrastre) para encontrar el tiempo que se demorará en llegar a la meta.

Construcción Barco: Parte 1

Finalmente y luego de analizar las dimensiones y materiales de nuestro barco, nos juntamos a construir.

Con las planchas de madera y sus dimensiones, consideramos que la forma que se adecuaba mejor a nuestras necesidades, era la de una semi-elipse. En realidad 3 semi-elipses, una en vista superior, una en vista trasera y otra en vista lateral (a continuación en el orden mencionado) :




Si combinamos todas en un software computacional, el resultado es el siguiente:

Bastante bueno a simple vista, el desafío es construirlo.

Con ecuaciones en mano nos pusimos a marcar nuestras tablas en base a un sistema cartesiano.
Una vez marcadas las mismas, nos pusimos a cortar y a lijar imperfecciones. Algunas fotos del proceso:




El resultado final de la construcción (primera parte) es el siguiente:



Es importante mencionar, que falta lijar las capas para darle la forma de un solo sólido sin tener las capas tan "discretizadas".

Detalle de Compras

En base a las circunstancias descritas en entradas anteriores, compramos los materiales que consideramos necesarios para la construcción de nuestro prototipo, el detalle es el siguiente:

8 Trozos de madera de 20cm x 40cm con grosor de 12mm = $3478
1 "Pegafix", pegamento maderero = $1810
2 Rollos de Cinta Masking Tape = $1780

Total Primera Compra = $ 7068

Materiales

Finalmente hemos decidido utilizar los siguientes materiales:

• Madera: Por su gran maleabilidad y su dureza en relacion a su peso creemos que puede ser el elemento indicado para hacer la mayor parte del casco de nuestro barco.


• Pintura Acrílica: Luego de consultar con algunas personas, concluimos que este material puede ayudar bastante a eliminar ciertas complicaciones a la velocidad, tal como el roce con el agua. Recubrir el casco con pintura acrílica puede hacer la diferencia en una competencia.


• Plástico: Este material es extremedamente útil en las terminaciones debido a su flexibilidad y bajo peso, además de ser muy resistente.

Es importante mencionar además que estos materiales se acotan perfectamente a la restriccion de costos ($15.000 Máximo) .

Análisis de Estabilidad

Lo que hicimos en nuestro análisis, fue escribir la condición de estabilidad en función de L y R (ver publicacion anterior), añadido a esto, supusimos lo siguiente:

Las cotas para cada variable son las siguientes:

5 < R < 15
30< L < 50

Entre estos valores buscamos maximizar la diferencia planteada. Con software computacional, llegamos a la conclusion aproximada de que los valores óptimos de nuestro problema son:

R = 10cm
L = 40cm

El análisis completo está en el vínculo:
http://www.megaupload.com/?d=35KX7EIU

Diseño de la Embarcación

Consideramos que la forma óptima del dispositivo es la siguiente:

El arrastre se ve disminuido con esta disposición del barco.

Los valores óptimos de R y L serán entregados en el análisis de estabilidad, ya que pretendemos optimizar la función de estabilidad para maximizar la misma, de modo que las matemáticas nos entregarán los mejores valores para dichas variables.

Placa Trasera de la Embarcación

Una vez determinada la velocidad con que sale el chorro que impulsara nuestra embarcación procedemos a determinar la fuerza con que este chorro impulsara el bote y además determinaremos la forma más adecuada que debe tener la placa donde el chorro impactara.

En primer lugar la forma de la placa a utilizar tendrá una geometría curva con el fin de minimizar las pérdidas de energía del chorro de agua por salpicaduras y así aprovechar al máximo la energía del chorro. Nos decidimos por esta forma principalmente basándonos en la experiencia desarrollada en otros proyectos hidráulicos, específicamente la turbina hidráulica Pelton, de la cual sabemos que de todas las turbinas hidráulicas esta es la que obtiene el mayor rendimiento y por consiguiente mayor aprovechamiento de la energía cinética del agua.

Se puede pensar que no existe ninguna relación entre una turbina hidráulica y el empuje de una embarcación mediante un chorro de agua, sin embargo la relación entre la turbina pelton y nuestro proyecto náutico es enorme, ya que la turbina es impulsada precisamente por un chorro de agua a gran velocidad que golpea las paletas o cucharas de la turbina para hacerla girar, en nuestro caso no deseamos hacer girar nada pero si aprovechar al máximo la energía del chorro de agua por lo tanto evitar perder energía por salpicaduras resulta primordial, en las siguientes figuras vemos como opera este sistema de cucharas, en la figura (primera parte) se puede ver como al hacer chocar el chorro de agua directamente con el centro de la placa provoca que algunos elementos de agua se desperdicien y su energía cinética no sea aprovechada, en cambio en la segunda parte no existe esta salpicadura y el agua desliza suavemente por la superficie de la placa aprovechando al máximo la energía del chorro, notamos también como este problema se transforma en un simple problema de circulación de agua a través de una tubo de área de sección transversal constante y gasto constante.

Utilizando la abstracción anterior podemos calcular la fuerza con que el chorro de agua empujara la placa utilizando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento donde tendremos que:

Como Q y A son constantes podemos decir que V1 = V2, y que no existen perdidas por roce en la superficie de la cuchara, además si consideramos que ambas presiones son iguales a cero debido a que estamos en el espacio libre con presión atmosférica entonces la fuerza con que el chorro de agua empujara la cuchara será:

La velocidad V está dada por el análisis del estanque y el gasto Q para el instante en que el chorro golpea la cuchara será constante.

Finalmente determinamos que el diseño más idóneo para la cuchara que recibirá el impacto del agua es el que se muestra en la figura 3, con el cual no corremos riesgo alguno de perder energía del agua porque parte de esta no pego efectivamente en la cuchara, tal como las paletas de una turbina Pelton.

Referencias:

http://www.phy6.org/stargaze/Mpelton.htm

http://www.ossberger.de/cms/es/hydro/turbina-pelton/

http://en.wikipedia.org/wiki/Pelton_wheel